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数学和音乐的律制

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blakhole 发表于 2009-2-10 16:42:42 | 显示全部楼层 |阅读模式

补做了一些功课,不知有错,并有很多疑问。
12平均律的基本单位s=2^{1/12}=1.0594630943592952645618252949463
以这个单位算出
1、8度还原为2,无误差。
(没有太多数学的疑问!一个疑问是,什么是物理的弦振动?譬如吉他调弦,当低弦振动造成高8度高音弦的共振时(肉眼可以看出),是否可以看成纯8度已经产生?此时一定是2倍的关系吗?)
2、5度(a:e)=s^{7}=1.4983070768766814987992807320264
纯5度为3:2=1.5,12平均律比它低0.2%.
(问题有一些,譬如,钢琴调律,按1.4983070768766814987992807320264还是不管它?)
3、大三度(a:#c):s^{4}=1.2599210498948731647672106072766
纯大三度为5:4=1.25 误差较大,为1%。
(问题较多,由于误差较大,所以钢琴调律在基本保证5度时候,必须尽量控制大三度的误差。)

5度和4度分别是一个八度的均分点,因此调律先调4度还是调5度是没有差别的。但是有趣的是,譬如5度转成4度的好处是譬如2中,变为倒数后各为:
a、对12平均律,1/1.4983070768766814987992807320264=0.66741992708501718241541594059392
b、对纯律则为:2/3=0.6666666666666666666666666667
比较a和b,误差变为0.0007,减少了(但在2中却有0.0016)。这是钢琴调4度和调5度之间带来的差距。

而实际上,12平均律有Equal Temperament and Meantone Temperament,各音程之间并非绝对均匀。可以把它们看成一种数学优化的音列体系。实际用于调律。

一些有趣的数学问题是:

1、一个音律体制居然不能完备封闭!由此造成转调的困难!

(数学不是万能的。真遗憾!)

2、音律体系有需要有各种数学优化处理。

(幸亏数学可以优化,但优化又有各种优化,这个优化的标准又是什么?)

[此贴子已经被作者于2009-2-11 13:07:29编辑过]
 楼主| blakhole 发表于 2009-2-17 12:48:30 | 显示全部楼层

这个问题的思考是数十年前学希尔伯特空间时,当时为这空间的完美而如醉如痴。进而思考:这宇宙到底是否存在这么一个完美的空间吗?但是一直没有找到。后来再学哥德尔不完备定律把希尔伯特空间的完美存在从逻辑上推翻后,还在思考,是否能补救。于是突然想,音乐是追求美的数学空间,或许在人类的理想中存在。于是就思考到音乐的律制,或许它是一个完美的数学空间。

做了以上功课后,才知道,这个人类和自然最和谐声音的音乐,居然也是不完美的。

上哪里找一个完美的数学空间去?

yueyuemei 发表于 2009-2-17 19:01:43 | 显示全部楼层
好深奥啊,还没看就已经晕了:)
乐爵士 发表于 2009-2-17 21:17:09 | 显示全部楼层

转帖一篇文章:

 


作者:王洪吉
关键字:十二平均律 五度相生律 纯律 音准区域
    在音乐理论中,将一个八度划分为十二个部分,其中每一个部分称为一律,合起来共为十二律.最常用的十二律有十二平均律、五度相生律和纯律。另外,著名的曾侯乙编钟也是采用十二律,但不是十二平均律,不是五度律,也不是纯律。关于曾侯乙编钟的音律问题将另文讨论。
    毕达哥拉斯学派将抽象的数作为万物的本原。根据“简单整数比”的原理,这个学派创立了一套音乐理论。1,2,3,4这头四个自然数,按 3比4,2比3,1比2的比构成了几个主要的音调. 这个理论称为毕氏律或五度律.
    中国古代的三分损益法,采用三损一为二,三盈一为四,也是利用了前四个自然数所构成的比例。因此,毕达哥拉斯学派的音乐理论,与中国古代的三分损益法产生的五度相生律基本上是一致的。在《管子•地员篇》中有关于三分损益的记载,《管子•地员篇》中说:“凡将起五音,凡首,先主一而三之,四开以合九九,以是生黄钟小素之首,以成宫。三分而益之而以一,为百有八,为徵。不无有三分而去其乘,适足以生商。有三分而复于其所,以是生羽。有三分去其乘,适足以是生角。” 
    纯律是,利用1,2,3,4,5这五个自然数, 按4比5, 3比4,2比3,1比2的比构成的几个主要的音调. 
    从数集的角度来说,在数轴上有有理点(整数和分数),也有无理点。五度相生律与纯律,是利用整数和分数描述音律,属于有理数音乐理论。
    事实上,圆周率、黄金分割率、根号2、根号3等都是无理数。把音律限制在数轴上的部分点(有理点),是音迁就于数,是有局限性的。我国东汉蔡邕,明代朱载堉等,都强调艺术实践是制律的根本,强调“古今钟律者,以耳齐其声”。
    我国明代著名科学家、音乐家朱载堉(1536-1610)于1584年首先在世界上用数学方法提出了十二平均律的理论,为欧洲近代音乐的发展奠定了理论与实践的基础。巴赫(1685-1750)是德国著名的作曲家和钢琴家,被称为欧洲音乐之父。他写成了《平均律钢琴曲集》,用创作实践证明这个律制的合理性,给后世产生了巨大影响.后来十二平均律逐渐地在欧洲和全世界范围内到了普及,取代了非平均律. 德国著名物理学家赫姆霍茨(Helmholtz )在其《论音感》巨著中写道:“在中国人中,据说有一个王子叫朱载堉的,他在旧派音乐家的反对声中,倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法,也是这个有天才和技巧的国家发明的。
    朱载堉的十二平均律,也称为“密率”。他是将八度开二方,再开二方,又再开三方,得八度的十二分之一,既半音。所列的数字一直写到二十五位,其数据与今日的十二平均律完全相同。 密率等于1.059463094359295264561825…,是个无理数。
    五度相生律是根据三分损益法,连续产生五度关系,最后把所得的律移动到一个八度之内,就的到了所谓的五度律。在五度律中升7要比高音1高24音分,24音分约是一个半音的四分之一,经过训练的耳朵是可以听出来的。类似的,纯律也有音不准的问题。但是五度相生律、纯律与十二平均律的八度都相等,所以五度相生律和纯律本身就存在问题,误差大。另外,五度相生律和纯律不能使黄钟还原,不便于旋宫转调。朱载堉在谈到三分损益律时说:“夫音生于数者也,数真则音无不合矣;若音或有不合,是数之未真也。达音数之理者,变而通之,不可执于一也,是故不用三分损益之法,创立新法。”这里他指出“三分损益之法”是“数未真也”。
    在当今十二平均律已经被广泛应用的今天。还有人认为,五度相生律和纯律采用整数之比,是驻波的结点,是自然之节也。其实这种说法是错误的。事实上,驻波的结点是在加上了近似的边界条件下,通过求解微分方程计算出来的。在弦的端点,可以看成两种媒质的交界点,入射波的能量与反射波的能量不同,波在反射时有能量损耗,所以入射波和反射波的振幅和位相不同,因此入射波和反射波叠加所形成的波节、波腹不一定在整数比的节点上。八度和高八度的位置在二和一的位置上,是由于高八度位于八度的中间位置,是对称的,所以是自然之结,其余各点均不是对称点,不一定在整数和整数比的位置上,不一定是有理数表示的点。
    十二平均律,是利用有理数和无理数来描述音律,属于实数音乐理论。可以用数轴上的任意点表示音律。因而,没有取律时数学上的限制.
    十二平均律是以数迁就于音,而非以音迁就于数,是合乎人听力规律的音律。另外,十二平均律便于转调,现代乐队一般都使用十二平均律。朱载堉说:“新法所算之律,一切本诸自然之理”;新法“盖十二律黄钟为始,应钟为终,终而复始,循环无端,此自然真理也”。
    在十二平均律的十二个点的周围,数学上称各点的邻域,至少有几个音分,没有经过训练的耳朵是不能区分的,音听起来音也是准的。这里把它们称为音准区域.十二平均律的十二个点的位置在各个音准邻域的中间.五度律与纯律的各个点在音准区域内或在音准区域的边界上.

乐爵士 发表于 2009-2-17 21:21:34 | 显示全部楼层

老董提到的“误差”,应该就是无度相生律和12平均律之间的存在的误差。

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